Det første tegn på triangles lighed. Det andet og tredje tegn på triangles lighed

Blandt det store antal polygoner,som i virkeligheden er en lukket ikke-skærende brudte linje, er en trekant en figur med det mindste antal vinkler. Det er med andre ord det enkleste polygon. Men på trods af al sin enkelhed indeholder denne figur mange mysterier og interessante opdagelser, som er dækket af en særlig sektion af matematik - geometri. Denne disciplin i skolerne begynder at undervise fra syvende klasse, og emnet "Triangle" får særlig opmærksomhed her. Børn lærer ikke kun reglerne om selve figuren, men sammenligner dem også, studerer 1, 2 og 3 tegn på ligestilling af trekanter.

Første bekendtskab

Et af de første regler, der skal introduceresschoolboys, lyder omtrent så: summen af ​​størrelser af alle vinkler af en trekant er lig med 180 grader. For at bekræfte dette er det nok, ved hjælp af protractoren, at måle hver af hjørnerne og tilføje alle de resulterende værdier. Ud fra dette for to kendte mængder er det let at bestemme den tredje. For eksempel: I en trekant en af ​​vinklerne er 70 °, og den anden - 85 °, hvad er værdien af ​​den tredje vinkel?

180 - 85 - 70 = 25.

Svar: 25 °.

Problemer kan være mere komplicerede, hvis kun en værdi af vinklen er angivet, og den anden værdi siger kun hvor mange gange eller hvor mange gange det er større eller mindre.

I trekanten, for at bestemme nogle af dens funktioner, kan der trækkes særlige linjer, der hver har sit eget navn:

• højde - en vinkelret linje trukket fra toppen til den modsatte side;
• alle tre højder holdt samtidig i midten af ​​figuren skærer og danner et orthocenter, som afhængigt af typen af ​​trekant kan være enten indenfor eller udenfor;
• median - linjen forbinder vertexet til midten af ​​den modsatte side;
• Krydset mellem medianerne er tyngdepunktet, er inde i figuren;
• bisectrix er en linje, der går fra vertexet til skæringspunktet med den modsatte side, skæringspunktet for de tre bisektorer er midten af ​​den indskrevne cirkel.

Enkle sandheder om trekanter

Triangler, som alle figurerne har deres egen egenskaber og egenskaber. Som nævnt er denne figur den enkleste polygon, men med sine egne karakteristiske træk:

• mod den længste side er der altid en vinkel med en større værdi og omvendt;
• Lige vinkler ligger på lige sider, et ensartet trekant er et eksempel;
• Summen af ​​de indvendige vinkler er altid 180 °, hvilket allerede er vist ved eksemplet;
• strækker ved den ene side af trekanten er dannet over den ydre vinkel, som altid vil være lig med summen af ​​vinklerne, har det ikke støder op;
• En af parterne er altid mindre end summen af ​​de to andre parter, men mere end deres forskel.

Typer af trekanter

Den næste fase af bekendtskab er at bestemme den gruppe, som den repræsenterede trekant tilhører. Hængende til en eller anden slags afhænger af trekantenes vinkler.

• Lige - med to lige sider,som kaldes lateral, den tredje i dette tilfælde fungerer som basis for figuren. Vinklerne ved bunden af ​​en sådan trekant er de samme, og medianen trukket fra toppen er bisektrixen og højden.
• En almindelig eller ligesidet trekant er en med alle dets sider ens.
• Rektangulær: en af ​​sine vinkler er 90 °. I dette tilfælde kaldes siden modsat dette hjørne hypotenuse og de to andre ved benene.
• Skarpt trekant - alle vinkler er mindre end 90 °.
• Lodret-vinklet - en af ​​vinklerne er større end 90 °.

Lighed og lighed mellem trekanter

I læringsprocessen, ikke kunseparat taget figur, men også sammenligne to trekanter. Og dette tilsyneladende enkle emne har mange regler og sætninger, hvorpå man kan bevise, at de pågældende tal er lige trekant. Tegnene på lighed mellem trekanter har følgende definition: trekanter er lige, hvis deres respektive sider og vinkler er de samme. Med denne lighed, hvis du overlejrer disse to figurer på hinanden, vil alle deres linjer konvergere. Tallene kan også være ens, især det gælder næsten identiske tal, som kun varierer i størrelse. For at gøre en sådan konklusion om de repræsenterede trekanter skal man overholde en af ​​følgende betingelser:

• to hjørner af en figur er lig med to vinkler af den anden;
• de to sider af den ene er proportional med de to sider af den anden trekant, og vinklerne dannet af siderne er ens;
• de tre sider af den anden figur er de samme som de første.

Selvfølgelig for ubestridelig lighed, hvilket ikke er detvil medføre den mindste tvivl, er det nødvendigt at have de samme værdier for alle elementer i begge figurer, men ved hjælp af teoremerne er problemet meget enklere, og kun få betingelser er tilladt at bevise triangles lighed.

Det første tegn på triangles lighed

Mål på dette emne er besluttet på grundlag afBeviset for sætningen, der lyder: "Hvis de tre sider af trekanten og den vinkel, de danner, er lig med to sider og hjørnet af den anden trekant, så er tallene ligeledes ens."

Hvordan er beviset på sætningen til den førsteet tegn på ligestilling af trekanter? Alle ved, at to segmenter er lige, hvis de er af samme længde, eller cirkler er ens, hvis de har samme radius. Og i tilfælde af trekanter er der flere funktioner, som man kan antage, at tallene er identiske, hvilket er meget praktisk til løsning af forskellige geometriske problemer.

Hvordan lyder ordningen "Det første tegn på trekantens lighed", der er beskrevet ovenfor, men dens bevis:

• Antag trekanter ABC og A₁I₁C₁ har samme sider AB og A₁I₁ og dermed BC og B₁C₁, og de vinkler, der dannes af disse sider, har samme værdi, det vil sige de er ens. Derefter anvender △ ABC til △ A₁I₁C_1, vi får sammenfaldet af alle linjer og hjørner. Det følger heraf, at disse trekanter er helt identiske og er derfor ens i forhold til hinanden.

Stykket "Det første tegn på triangles ligestilling" kaldes også "På to sider og hjørne". Faktisk er dette essensen.

Stilling på den anden karakteristik

Det andet tegn på lighed er vist på samme måde,Beviset er baseret på det forhold, at indførelsen af ​​de stykker på hinanden, de er identiske i alle de toppe og sider. En sætning lyder sådan her: "Hvis den ene side og to vinkler i dannelsen af ​​som den deltager, partiet og de to hjørner af den anden trekant, så disse tal er identiske, dvs. lige."

Det tredje tegn og bevis

Hvis både 2 og 1 er lig med tegntrekanter rørt begge sider og vinkler af figuren, så den tredje refererer kun til siderne. Således har sætningen følgende formulering: "Hvis alle sider af en trekant er lig med tre sider af den anden trekant, så er tallene identiske."

For at bevise denne sætning har vi brug for flere detaljerat dykke ind i selve definitionen af ​​lighed. Hvad betyder udtrykket "triangler lige" i det væsentlige? Identitet antyder, at hvis du overlejrer en figur på en anden, vil alle deres elementer falde sammen, det kan kun være, hvis deres sider og vinkler er ens. Samtidig vil vinklen modsat en af ​​siderne, som er den samme som for den anden trekant, svare til den tilsvarende vinkel af den anden figur. Det skal bemærkes, at beviset på dette sted let kan oversættes til 1 tegn på ligestilling af trekanter. Hvis en sådan sekvens ikke observeres, er trianglernes lighed simpelthen umulig, undtagen når figuren er et spejlbillede af den første.

Rektangulære trekanter

I strukturen af ​​sådanne trekanter er der altid hjørner med en vinkel på 90 °. Derfor er følgende påstande rigtige:

• Triangler med en ret vinkel er lige, hvis benene på den ene er identiske med benene på den anden;
• Tallene er lige, hvis deres hypotenuse og et af benene er ens;
• Sådanne trekanter er ens, hvis deres ben og den akutte vinkel er ens.

Denne egenskab refererer til rektangulærtrekanter. For at bevise sætningen anvender anvendelsen af ​​figurer på hinanden, som følge heraf trekantene foldes med ben, så fra de to lige linjer er der en udfoldet vinkel med siderne af CA og CA₁.

Praktisk anvendelse

I de fleste tilfælde, i praksis,Det første tegn på triangles lighed. Faktisk bruges et sådan tilsyneladende simpelt tema i den 7. klasse i geometri og planimetri også til at beregne længden for eksempel af et telefonkabel uden at måle terrænet over hvilket det vil passere. Ved hjælp af denne sætning er det nemt at foretage de nødvendige beregninger for at bestemme længden af ​​en ø midt i en flod uden at krydse den. Enten forstærker hegnet ved at placere stangen i spændingen, så den opdeler den i to lige trekant eller beregner komplekse elementer i tømrerarbejdet eller ved beregning af tagstangsystemet under konstruktionen.

Det første tegn på triangles lighed har bred anvendelse i ægte "voksen" liv. Selvom i skoleår er det dette emne for mange, der virker kedeligt og fuldstændig unødvendigt.

</ p>>